[백준 알고리즘] 1699번: 제곱수의 합

https://www.acmicpc.net/problem/1699

문제

문제
어떤 자연수 N은 그보다 작거나 같은 제곱수들의 합으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 11=3^2+1^2+1^2(3개 항)이다. 이런 표현방법은 여러 가지가 될 수 있는데, 11의 경우 11=2^2+2^2+1^2+1^2+1^2(5개 항)도 가능하다. 이 경우, 수학자 숌크라테스는 “11은 3개 항의 제곱수 합으로 표현할 수 있다.”라고 말한다. 또한 11은 그보다 적은 항의 제곱수 합으로 표현할 수 없으므로, 11을 그 합으로써 표현할 수 있는 제곱수 항의 최소 개수는 3이다.

주어진 자연수 N을 이렇게 제곱수들의 합으로 표현할 때에 그 항의 최소개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력
첫째 줄에 자연수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 100,000)

출력
주어진 자연수를 제곱수의 합으로 나타낼 때에 그 제곱수 항의 최소 개수를 출력한다.

풀이

모든 수는 1의 제곱수만 표현하는 것이 가능하다. 그리고 또 1이 아닌 여러 제곱수들의 합으로도 나타낼 수 있다. 첫 몇개의 자연수를 예로 들어보면

1의 최소 제곱수의 합은 1² 이다. 2의 최소 제곱수의 합은 1² + 1² 이다. 3의 최소 제곱수의 합은 1² + 1² + 1² 이다. 4의 최소 제곱수의 합은 2² 이다. 5의 최소 제곱수의 합은 2² + 1² 이다.

위에서 규칙을 찾아보면, 어떤 제곱수 N은 자기자신보다 작은 제곱수 A와 N-A 를 만드는 제곱수의 합으로 이루어지는 것을 알 수 있다. 예를 들면, 5의 최소 제곱수는 구하려고 한다면, 5보다 작은 값을 만드는 1의 제곱, 2의 제곱과의 차를 각각 구하고 해당 차를 만드는 최소 제곱수의 개수를 구하면 얻을 수 있다. DP로 접근하게되면 자기자신보다 작은 수들의 최소 제곱수의 개수는 이미 구해져 있는 상태이기 때문에 큰 어려움없이 답을 구할 수 있게 된다.

코드

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

int dp[100001] = {0};

int main (){
    int N;
    scanf("%d", &N);

    for (int i = 1 ; i <= N ; i++){
        dp[i] = i; // 1의 제곱으로만 숫자 i 를 만드는 개수
        for (int j = 1 ; j*j <= i ; j++){ // 1의 제곱부터 i보다 작은 제곱수를 모두 시도
            dp[i] = min(dp[i], dp[i-j*j]+1); // 1의 재곱으로만 만드는 경우와, 다른 제곱수들의 조합으로 만드는 경우 중 더 작은 경우를 선택
        }
    }

    printf("%d\n", dp[N]);
}